遠心加速度と片勾配

クルマが遠心力でカーブの外側に出ないように適切なバンク角をつける計算。

計算
実装

計算

参考：国土交通省道路構造令の各規定の解説 III-4.線形

遠心力＝質量 * 速度^2 / 曲率半径
Z = (G / g) * (v^2 / R)

Z：遠心力
v：速度(m/s)
g：重力加速度(9.81m/s^2)
G：クルマの総重量(N)
R：曲率半径(m)
f：路面とタイヤの摩擦係数

横滑りを生じさせない条件
ZcosΘ – GsinΘ <= f(ZsinΘ + GcosΘ)

式を変形してΘにまとめる

ZcosΘ – GsinΘ <= fZsinΘ + fGcosΘ
ZcosΘ – fGcosΘ <= fZsinΘ + GsinΘ
cosΘ(Z – fG) <= sinΘ(fZ + G)
(Z – fG) / (fZ + G) <= sinΘ / cosΘ
(Z – fG) / (fZ + G) <= tanΘ
Θ >= atan((Z – fG) / (fZ + G))

Θはatan((Z – fG) / (fZ + G))以上の角度となる。

※1ニュートンは1kgの質量に1m/s^2の加速度を発生させる力（単位：kg・ｍ/s^2）

質量が1トン＝1000kgの場合
総重量G = 1000kg * 9.81m/s^2 = 9810N

実装

線形の曲率半径とハーフベクトルを事前に求めておく。ハーフベクトルは遠心力が働く方向の目安として利用する。

//
// 遠心力を計算し、
// ハーフベクトルの長さに掛ける
// RunOver:Points
//

float speed = `chs("../speed")`;    // 想定速度(km/h)
float f = `chs("../friction")`;     // 摩擦係数

float g = 9.8;  // 重力(m/s^2)
float G = 9800; // クルマの重量(N)

// 時速を秒速へ（例：90kmh -> 25m/s）
float v = speed * 1000 / 60 /60;

// 遠心力＝速度の二乗÷曲率半径
float Z = v * v / f@__radius * G / g;

// 方勾配の角度を求める
float theta = atan((Z - f*G) / (G + f*Z));

if(theta < 0) theta = 0;
f@__theta = degrees(theta);

// 進行方向の行列
matrix world = maketransform(@N, @up);
matrix inverse = invert(world);

// ハーフベクトルを原点に座標変換し、型勾配のベクトルと比較
vector localH = v@__h * inverse;
vector localLeft = set(cos(theta), sin(theta), 0);
if(localH.x < 0) localLeft.y *= -1;

v@__left = localLeft * world;
@up = cross(@N, v@__left);

UPベクトルはSmooth SOP等で滑らかにする。