日常的に数学をしてない人のチートシート
三角関数
相互関係
\(tanθ = \frac{sinθ}{cosθ}\)
\(sin^2θ+cos^2θ=1\)
\(1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}\)
\(1+\frac{1}{tan^2θ}=\frac{1}{sin^2θ}\)
加法定理
\(sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny\)
\(cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny\)
指数
指数法則
\(a^m\times a^n=a^{m+n}\)
掛け算は指数同士の足し算になる。
\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
割り算は指数同士の引き算になる。
\((a^m)^n=a^{mn}\)
m乗したものをn乗する場合は(m*n)乗になる。
\((ab)^n=a^nb^n\)
掛け算や割り算をまとめてn乗する場合、それぞれがn乗される。
マイナス乗
負の指数は逆数になる。
\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)
\(\frac{1}{a^{2}}=a^{-2}\)
分数乗
\(\frac{1}{n}\)乗はn乗根をあらわす。
\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
\(\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\)
\(x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x}^{3}=x\sqrt{x}\)
例題
\(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}=\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}=a^{-\frac{1}{3}}\)
負の分数乗の場合。
\(a^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{3}{2}}=a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}-a^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}})=a^{\frac{1}{2}}(1-a)\)
くくる場合は割り算になるので引き算になる。
\(a^{-\frac{1}{2}}(1-a^2)=(a^{-\frac{1}{2}}-a^{2-\frac{1}{2}})=a^{-\frac{1}{2}}-a^{\frac{3}{2}}\)
展開する場合。掛け算は足し算になる。
対数
微分
x2をxについて微分すると
x2→2x
次数が前に来て、1少なくなる
積分
\(\int\)に数がついてないものは不定積分
\(\int_{2}^{5}\)のように数がついていれば定積分
2xをxで積分すると
2x→x2
次数を1増やして、増えた次数で割る
\(ax^{2}+bx+c\)を積分する
\(ax^{2}\)→\(\frac{1}{3}ax^{3}\)
\(bx\)→\(\frac{1}{2}bx^2\)
\(c\)→\(cx\)
\(\int (ax^{2}+bx+c)dx=\frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}+cx+C\)
項を分ける
足し算
\(\int(x^2+x)dx\)
積分の線形性を利用して次のように分けて計算できる
\(\int(x^2+x)dx=\int x^2dx+\int xdx\)
それぞれの項を積分する
\(\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3, \int xdx=\frac{1}{2}x^2\)
まとめると
\(\int(x^2+x)dx=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+C\)
スカラー倍
\(\int 3x^2dx\)
スカラー倍の定数３を積分の外に出せる
\(\int 3x^2dx=3\int x^2dx\)
積分する
\(\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3\)
まとめると
\(\int 3x^2dx=3⋅\frac{1}{3}x^3=x^3+C\)
分数乗の積分
\(\int x^\frac{1}{2}dx\)
一般的なべき乗の積分の公式
\(\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
ここに\(n=\frac{1}{2}\)を代入する
\(\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C\)
\(\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C\)