数式早見表

公開 2025-01-01 20:00更新 2025-01-14 02:50非公開

日常的に数学をしてない人のチートシート

三角関数

相互関係

$tanθ = \frac{sinθ}{cosθ}$

$sin^2θ+cos^2θ=1$

$1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}$

$1+\frac{1}{tan^2θ}=\frac{1}{sin^2θ}$

加法定理

$sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny$

$cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny$

指数

指数法則

$a^m\times a^n=a^{m+n}$ 掛け算は指数同士の足し算になる。

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ 割り算は指数同士の引き算になる。

$(a^m)^n=a^{mn}$ m乗したものをn乗する場合は(m*n)乗になる。

$(ab)^n=a^nb^n$ 掛け算や割り算をまとめてn乗する場合、それぞれがn乗される。

マイナス乗

負の指数は逆数になる。

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{a^{2}}=a^{-2}$

分数乗

$\frac{1}{n}$乗はn乗根をあらわす。

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

$\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$

$x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x}^{3}=x\sqrt{x}$

例題

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}}=\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}=a^{-\frac{1}{3}}$ 負の分数乗の場合。

$a^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{3}{2}}=a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}-a^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}})=a^{\frac{1}{2}}(1-a)$ くくる場合は割り算になるので引き算になる。

$a^{-\frac{1}{2}}(1-a^2)=(a^{-\frac{1}{2}}-a^{2-\frac{1}{2}})=a^{-\frac{1}{2}}-a^{\frac{3}{2}}$ 展開する場合。掛け算は足し算になる。

対数

微分

x²をxについて微分すると x²→2x 次数が前に来て、1少なくなる

積分

$\int$に数がついてないものは不定積分 $\int_{2}^{5}$のように数がついていれば定積分

2xをxで積分すると 2x→x² 次数を1増やして、増えた次数で割る

$ax^{2}+bx+c$を積分する

$ax^{2}$→$\frac{1}{3}ax^{3}$ $bx$→$\frac{1}{2}bx^2$ $c$→$cx$

$\int (ax^{2}+bx+c)dx=\frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}+cx+C$

項を分ける

足し算

$\int(x^2+x)dx$

積分の線形性を利用して次のように分けて計算できる $\int(x^2+x)dx=\int x^2dx+\int xdx$

それぞれの項を積分する $\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3, \int xdx=\frac{1}{2}x^2$

まとめると $\int(x^2+x)dx=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+C$

スカラー倍

$\int 3x^2dx$

スカラー倍の定数３を積分の外に出せる $\int 3x^2dx=3\int x^2dx$

積分する $\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3$

まとめると $\int 3x^2dx=3⋅\frac{1}{3}x^3=x^3+C$

分数乗の積分

$\int x^\frac{1}{2}dx$

一般的なべき乗の積分の公式 $\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

ここに$n=\frac{1}{2}$を代入する

$\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$

$\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$