カーブのバンク角の計算

公開 2025-01-09 22:00更新 2026-08-20 09:20

カーブを曲がる車には遠心力がはたらく。道路を傾けると、その一部を重力に受け持たせられる。車が速く走るほど道路の傾斜を大きくしないと遠心力に負けてしまう。カーブの半径が大きいほど、傾きを少なくできる。

摩擦を考えない場合

g：重力加速度（9.8 m/s²） m：質量（kg） R：曲率半径（m） v：車両の速度（m/s） N：垂直抗力

遠心加速度は $a=\frac{v^2}{R}$ 詳しくは、遠心力と遠心加速度

垂直抗力（道路から押し返される力）の水平成分は遠心力と、垂直成分は重力と釣り合う。

$N\sin\theta=m\frac{v^2}{R}$ ・・・① $N\cos\theta=mg$ ・・・②

②を変形した $N=\frac{mg}{\cos\theta}$ を①に代入する $mg\tan\theta=m\frac{v^2}{R}$ $g\tan\theta=\frac{v^2}{R}$ $\tan\theta=\frac{v^2}{gR}$

$\theta=\arctan\left(\frac{v^2}{gR}\right)$

遠心加速度 $\frac{v^2}{R}$ をaとして計算した場合 $\theta=\arctan\left(\frac{a}{g}\right)$ となります。

摩擦係数μが加わる。

ここでは車が外側へ滑り出す寸前を考える。摩擦は限界（μN）まで働き、向きは斜面の下向き（カーブの内側）になる。この仮定で出るθは、その速度で曲がるために必要な最小のバンク角である。逆に速度が低くて内側へ滑り落ちる側を考えるときは、摩擦の向きが反対になるのでμを−μにする。

μ：摩擦係数 g：重力加速度（9.8 m/s²） m：質量（kg） R：曲率半径（m） v：車両の速度（m/s） N：垂直抗力

垂直方向

$N\cos\theta-\mu N\sin\theta=mg$ $N(\cos\theta-\mu\sin\theta)=mg$

$N=\frac{mg}{(\cos\theta-\mu\sin\theta)}$ ・・・①

水平方向

$N\sin\theta+\mu N\cos\theta=m\frac{v^2}{R}$ $N(\sin\theta+\mu\cos\theta)=m\frac{v^2}{R}$ ・・・②

②に①を代入する

$mg\frac{(\sin\theta+\mu\cos\theta)}{(\cos\theta-\mu\sin\theta)}=\frac{mv^2}{R}$

$gR\frac{(\sin\theta+\mu\cos\theta)}{(\cos\theta-\mu\sin\theta)}=v^2$

θについて解く $gR(\sin\theta+\mu\cos\theta)=v^2(\cos\theta-\mu\sin\theta)$

展開する $gR\sin\theta+gR\mu\cos\theta=v^2\cos\theta-v^2\mu\sin\theta$ $gR\sin\theta+v^2\mu\sin\theta=v^2\cos\theta-gR\mu\cos\theta$

$\sin\theta(gR+v^2\mu)=\cos\theta(v^2-gR\mu)$

$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{v^2-gR\mu}{gR+v^2\mu}$

$\tan\theta=\frac{v^2-gR\mu}{gR+v^2\mu}$

$\theta=\arctan\left(\frac{v^2-gR\mu}{gR+v^2\mu}\right)$

μ=0なら摩擦がない場合の式と同じになる。

$v^2$ が $gR\mu$ より小さいと $\tan\theta$ が負になる。摩擦だけで曲がりきれるので、バンクは要らないという意味になる。

また、遠心加速度 $\frac{v^2}{R}$ をaとして計算した場合 $\theta=\arctan\left(\frac{a-g\mu}{g+a\mu}\right)$ となります。

道路設計で使う片勾配の式は、上の式を線形化したものになる。 $\tan\theta$ を片勾配e、μを横すべり摩擦係数fと読み替えると

$e+f=\frac{v^2}{127R}$

になる。vの単位はkm/hで、127は $3.6^2 \times 9.8$ から来ている。

ここで使うfは乗り心地から決めた設計値で、0.1前後（設計速度によって変わる）。タイヤと路面の摩擦の限界（乾燥路で0.7前後）ではない。上の式に限界の摩擦係数を入れると、現実の道路にはあり得ない浅いバンクが出る。