やさしい行列 #2

公開 2018-04-16 00:00更新 2019-04-06 23:50

コンピュータグラフィックス視点の行列入門プリントの2冊目です。今回は三角関数と回転行列を扱います。

回転する世界

前回は行列の図を観察しながら仕組みを勉強しました。今回は回転行列について解説していきます。

行列は空間のひとマスを軸のベクトルで定義しました。なので $\theta$ 回転させた世界も軸のベクトルがわかれば行列をつくることができます。

回転の計算には三角関数が必要になってきます。すこし遠回りになりますが三角関数の解説をしながら回転行列へとつなげていきたいと思います。

水平方向の比率（コサイン）

たとえばこんな図形があったとして、7m の斜辺と 30 度という角度が分かっているときに、どうしても底辺が知りたいとします・・・。どうすればいいでしょうか？

昔の人は考えました。「角度ごとに比率を測って表を作ってみよう」

このような長い表をつくってどんな角度にも対応できるようにしました。

関数とは・・

30 度のときの b の a に対する比率は表で調べると 0.8660 なので

このようにして表を参照することで底辺を計算することが出来るようになりました。

これを計算式にするとこうなります。

この cos という記号は関数なので中の数字はあまり意識する必要はありません。関数というのは数字を入力したら定められた処理をして答えを返す機能だと思ってください。

コサインの値は人が暗記することも計算することも難しいので通常は表を参照したり、コンピュータを使って値を取得します。人は cos という関数が斜辺に対する底辺の比率ということだけ知っておく必要があります。

垂直方向の比率（サイン）

30 度の角度で毎秒 5m の速さで飛ぶ鳥は毎秒何 m で上昇していくでしょうか。

垂直方向も水平方向と同じように sin 関数を使うことで求めることができます。sin 関数は斜辺に対する垂直方向の比率です。

sin 関数も同じように表があり、それを参照することで求まります。30 度のときの sin は 0.5 なので高度は次のように計算できます。

成分を分解してベクトルへ

ここまで三角関数の説明してきましたが、ポイントは三角関数を使うことで斜辺の水平方向と垂直方向の成分が分かるということです。つまり x 方向と y 方向が分かればベクトルに変換することが出来ます。

x 成分は cos、y 成分は sin で求めることが出来ると覚えておきましょう。

長さが 1 で角度が $\theta$ の斜辺をベクトルにすると $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ になります。それでは次の頁で単位円の成分を分解していきます。

軸を θ 回転させる

単位円です。半径の長さは 1 です。$(1, 0)$ の座標を角度 $\theta$ で回転させたら $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ へ移動することになります。

$(0, 1)$ の座標を角度 $\theta$ で回転させたらどうなるでしょうか。これは上の図を反時計回りに 90 度傾ければわかりやすいと思います。移動後の座標は $(-\sin\theta,\ \cos\theta)$ になります。

回転行列のしくみ

前頁を座標変換をまとめます。直交している x 軸と y 軸を $\theta$ 回転させると、x 軸のベクトルは $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ になり、y 軸は $(-\sin\theta,\ \cos\theta)$ になります。

行列は軸のベクトルで表すことができたので、$\theta$ 回転した後の世界はこのようになります。これが回転行列となります。

回転後の世界

それでは 30 度回転させた行列を例に座標変換をしてみましょう。座標 $(3, 1)$ にこの行列を掛けるとどこに移動するのでしょうか。

計算の結果、$(2.098,\ 2.366)$ に移動しました。

回転行列のしくみはご理解いただけたでしょうか？それではまた次回に続きます・・・

付録：もとのプリント

上の記事は、配布したプリントを画面で読める形に組み直したものです。誌面そのものは以下のとおり（押すと大きくなります）。