三角形の外接円の中心座標を求める

公開 2015-01-11 12:00更新 2025-01-07 18:27

ピタゴラスの定理から

$(x_1 - Px)^2+(y_1 -Py)^2=R^2$・・・① $(x_2 - Px)^2+(y_2 -Py)^2=R^2$・・・② $(x_3 - Px)^2+(y_3 -Py)^2=R^2$・・・③

①－② $(x_1 - Px)^2 - (x_2 - Px)^2 + (y_1 - Py)^2 - (y_2 - Py)^2 = 0$ まとめると $-2(x_1 - x2)Px - 2(y_1- y2)Py + x_1^2 - x_2^2 + y_1^2 - y_2^2 = 0$

$2(x_1 - x2)Px + 2(y_1- y2)Py = x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 - y_2^2$・・・④

同様に①－③は $-2(x_1 - x_3)Px - 2(y_1- y_3)Py + x_1^2 - x_3^2 + y_1^2 - y_3^2 = 0$

$2(x_1 - x_3)Px + 2(y_1- y_3)Py = x_1^2 - x_3^2 + y_1^2 - y_3^2$・・・⑤

この二つの式④と⑤は連立方程式なので、二元一次方程式のクラメル式を使う

$a_1x + b_1y = c_1$ $a_2x + b_2y = c_2$

のとき

$x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

$y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

で求まるので、

$a_1=2(x_1 - x_2)$ $b_1=2(y_1 - y_2)$ $a_2=2(x_1 - x_3)$ $b_2=2(y_1 - y_3)$ $c_1=(x_1^2 - x_2^2 + y_1^2 - y_2^2)$ $c_2=(x_1^2 - x_3^2 + y_1^2 - y_3^2)$

と当てはめていけば答えは

$Px = \frac{(x_1^2 - x_2^2 + y_1^2 - y_2^2)(y_1 - y_3) - (x_1^2 - x_3^2 + y_1^2 - y_3^2)(y_1 - y_2)}{2(x_1 - x_2)(y_1 - y_3) - 2(x_1 - x_3)(y_1 - y_3)}$

$Py = \frac{(x_1^2 - x_3^2 + y_1^2 - y_3^2)(x_1 - x_2) - (x_1^2 - x_2^2 + y_1^2 - y_2^2)(x_1 - x_3)}{2(x_1 - x_2)(y_1 - y_3) - 2(x_1 - x_3)(y_1 - y_3)}$

となります。

円